باز هم در باره وضع وخیم علم ریاضی در دنیای معاصر

خانه از پایبست ویران است خواجه در بند نقش ایوان است.

خلاصه و منظور: این شعر را که در بخش اول این رساله آورده بودم، باز می آورم تا بر دو مسئله تاکید کرده باشم، و گرنه من اهل شعر نیستم و شعر را عارضه ای برای فرهنگ ایرانی میدانم. مسئله اول مشابهت شعر و ریاضیات معاصر، به لحاظ سطحی بودن هردو از نظر منطق است، که یعنی تمثیل به شعر "لایق" این ریاضیات تمثیلی است. مسئله دوم توضیح وضع ریاضیات وسیله این شعر برای تحصیلکردگانی است که بیش از جنبه تخصصی ریاضی به جنبه عمومی مسئل فرهنگی علاقمندند. کمااینکه تاثیر اشکالات اساسی بینش ریاضی بر فرهنگ اجتماعی را در تخریب وضع اقتصاد عمومی معاصر بواسطه مدلهای ریاضی غلط اقتصادی ریاضیدانان مشهود است. یعنی اشکالات منطقی و خراب بودن وضع علم ریاضی از نظر موازین منطق سبب تخریب اقتصاد جهان و وضعیت اجتماعی تا مرگ و میر مردم نیز شده و می شود.

از اینرو ضرورت این تذکرات از آنجاست که علم ریاضی نه تنها بر همه علوم موثر است، بلکه بر طرز فکر عمومی، فرهنگ بشری و شرایط حیات بشری تاثیر می گذارد. لذا به مثابه مثل "لایق" ریاضیات تمثیلی "هر چه بگندد، نمکش می زنند، وای به روزی که بگندد نمک"، "فساد ریاضیات" بعد از ریمان که از قول زیگل ریاضیدان در بخش اول رساله یاد آوری کردم، سبب فساد فرهنگ بشری نیز شده است. یعنی ضرورت انتقاد من از ریاضیات ناشی از اهمیت خاص آن در علوم و فرهنگ است. در این رابطه توصیه من به آن ایرانیانی که از چپ و راست در مورد جایزه ای تبریک می گویند که هیچ اطلاعی از محتوای آن ندارند، اینست که اقلأ مراجعی را که در آن ها در این باره می خوانید، بدقت بخوانید تا مثل "سازمان های جبهه ملی ایران در اروپا" غلط ننویسید. این "سازمان ها" که اطلاعیه تبریکشان (در تنها موارد منطقی اش) کپی مستقیم و غیر مستقیم محتوای بعضی از مقالات اخیر من در باره "اهمیت جهانی علم و فلسفه ایرانی بعد از اسلام نسبت به شعر ایران" و یا در مورد "تجربی سازی علوم طبیعی جهان وسیله تاثیرات ابن هیثم و ابن سینا" است، نه تنها به مثابه "هنر نزد ایرانیان است و بس"، از سر ناسیونالیسم کذایی، "پایه گذاری روش های تجربی در علوم طبیعی را" به بعضی دانشمندان ایرانی هم نسبت داده اند که متاسفانه نقشی در آن نداشته اند. بلکه حتی نام "امی نوتر" ریاضیدان را هم به غلط "اما نویتر" نوشته اند.

...........................................................
یکی از اشکالات عمده علوم ریاضی و طبیعی معاصر در کنار عدم توجه به منطق اینست که متضمّن انتقاد نیستند و هیچ بینش انتقادی را بر نمی تابند. چون خود را به غلط و از سر تزویر تنها متولی امامزاده حقیقت می بینند. لذا بدون یک جریان انتقادی داخلی، از درون فاسد می شوند. و همچنان که پیشتر نیز تذکر داده و در ادامه خواهم داد، علوم یاد شده از اصول منطقی خود عدول کرده و برای تامین منابع مالی خویش حقیقت را فدای تحکیم روال نادرست مراکز قدرت تکنولوژیک ساخته اند.

در بخش پیشین این رساله نوشتم که قبل از من بزرگترین ریاضیدانان قرن بیستم نظیر لُبگ، گودل، موردل، وایل و مخصوصأ کارل لودویگ زیگل از وضع ریاضیات معاصر و وفور فرمالیسم برای پوشاندن اشکالات اساسی ریاضیات، انتقادات شدید تری کرده و شخص آخر کار متداول ریاضیدانان معاصرش را تحت نفوذ فرمالیسم مخرب "مکتب بورباکی" با "خوکهایی که مثل نازی ها همه چیز را خراب کردند و گلهای باغ ریاضیات را لگد مال می کنند" مقایسه کرده است (1). و آوردم که منطقدان و ریاضیدان برجسته برتراند راسل در مورد ریاضیات معاصرش که ریاضیات کنونی ادامه آن محسوب می شود، معتقد بود که ریاضیات مبحثی است که در آن در باره مقولاتی بحث می شود که (از نظر منطق) "هرگز نه میدانیم چیستند و نه آیا نظر ما در باره شان صحیح است" (2). این نظر اصولأ معادل نظر یاد شده لبگ در "اتکاء موجودیت ریاضی مقولات به تعریف آن هاست"، چون مقوله ای را که تعریف کنیم خواهیم دانست که چیست.

به نظر من نظر راسل و لبگ باید چنین تکمیل شود، که ریاضیدانان تصور درستی از کمیاتی که دایم از آن ها استفاده می کنند، یعنی دستگاه های مختلف مختصات ندارند. و نمی دانند که چرا مسائل مورد نظرشان را معمولأ در دستگاه مختصات قطبی حل می کنند. دلیل این عدم اطلاع در اینست که حتی در صورت تعریف مختصات یاد شده در یک "نقطه"، توجهی به تعریف جامع همان مختصات در سراسر ناحیه مورد استعمالش نمی کنند. یعنی بنظر من تعریف مقولات ریاضی می بایستی تعریف جامع و قابل تعمیم به سراسر ناحیه استعمال مقوله مورد نظر باشد. به این معنی ریاضیات متداول، ریاضیات "نقطوی" است، و اعتبار جامع در سراسر ناحیه مورد استعمالش را ندارد. لذا ریاضیات متداول مجبور است که، البته بدون درک معنی این ضرورت، همواره به مختصات خاصی منحصر شود. این انحصار، یعنی انحصار اِعمال ریاضیات در مختصات خاص، ساختار ریاضیات را تغییر داده و به بخش بسیار محدود قابل اعمالش تقلیل میدهد. یعنی برخلاف تصور، تدریس و تبلیغ آن ریاضیات از بی نهایت تا بی نهایت و هر ساختار فرضی عمل نمی کند، بلکه محدود به ناحیه خاص واقعیات است. برای ادامه یک ریاضیات منطقی که مانع ایجاد خطر برای حیات بشری چه بواسطه مدلهای ریاضی صنعتی و چه مدلهای اقتصادی باشد، درک این محدودیت و تقلیل ریاضیات ضروری است.

مشابه آن باید از انتقادات اساسی دانشمندانی چون فاینمن و شلدون لی گلاشوُ از مدل "استرینگ" (تارها) بعنوان مطرح ترین مدل فیزیکِ ریاضی مرتبط با مُد ریاضی متداول که هزاران دانشور در دهه های اخیر در باره اش وقت صرف کرده و بعضأ جایزه های بزرگی هم می گیرند، یاد کرد؛ که آن مدل را "دور از واقع، تو خالی و عاری از حقایق فیزیکی ارزیابی کرده اند". یعنی برعکس اکثریت دانشوران که به علل مختلف نظیر تامین معاش بدنبال مد روز هستند، اتفاقأ کسانی که از وضع علم اطلاع دقیق دارند، انتقادات لازم را از آن کرده و می کنند. منتها دانشوران معاصر غیر از مسئله قید معاش، معمولأ دقت علمی شان رابطه معکوس با شهرتشان دارد، لذا از زمینه تاریخی کارشان بی خبر اند.

برای اینکه علل انتقاد شدید بزرگان ریاضی نامبرده از "مکتب بورباکی" و فرمالیسم سرطانی آن که مستولی بر ریاضیات معاصر است، روشن شود؛ غیر از رجوع به منابعی که در هردو بخش رساله آورده ام، یاد آوری نظرات پیشروان این مکتب نظیر آندره ویل نیز مفید است، تا عدم اعتنای این مکتب به قواعد منطق در ورای فرمالیسم افراطی آنان روشن گردد. آندره ویل معتقد بود که ضرورت منطق در ریاضیات ثانویه است، چون می نویسد "هرچند منطق وسیله بهداشتی ریاضیدان است، اما منبع غذایی او نیست: نان روزانه او (ریاضیدان) مسائل (ریاضی) بزرگ اند". او حتی به روشنی از امتناع استفاده مکتب بورباکی از روشهای استدلالی می نویسد: "شاید که روزی اخلاف ما بخواهند که شیوه های استدلالی را که ما مجاز ندیدیم، در "نظریه مجموعه ها" وارد سازند" (3). از اینرو طبیعی است که مکتبی با چنین تمایلات غیر منطقی نسبت به ریاضیات، با وجود نفوذ شدیدش میان ریاضیدانان معاصر مورد انتقاد ریاضیدانانی قرار بگیرد که قادر به تفکر منطقی در مسائل اساسی ریاضیات باشند.

کار من غیر از تاکید و تکمیل انتقادات متقدمین یاد شده، اینست که اساس اشکالات علوم ریاضی و فیزیک را که مورد عنایت متقدمین مذکور قرار نگرفته بود، تشخیص داده ام؛ که در فیزیک مرجوع به اعتقاد غلط به بینش استاتیک یا به امکان سکون مطلق و ثانویه شمردن حرکت نسبت به وجود، و در رابطه با آن اعتقاد به فضای سه بعدی (با سه بعد مستقل) و زمان مستقل از مکان، یا اعتقاد به فضاـزمان چهاربعدی (با چهار درجه آزادی) است. و در ریاضات مرجوع به اعتقاد به هندسه مستوی ("نقطه" بی بعد و "خط مستقیم") و لذا کمیات "بی نهایت" و "فضاهایی با بیش از دو درجه آزادی" است: مقولاتی تخیلی که هیچکدام قابل تعریف و تجربه نیستند و نخواهند بود. کمااینکه نه ریاضیدانان و نه فیزیکدانان تاکنون با این همه بوق و کرنا، بعد از دوهزارو پانصد سال اعتقاد به آن، نتوانسته اند چهاربعدی بودن فضاـزمان فیزیکی را ثابت کنند. علاوه بر آن هرچند که ریاضیدانان حتی قادر به اثبات "قضیه وجود و یگانگی" فضاهای چهاربعدی نیستند (4)، اما با این حال باز وجود آن را، از سر شالاتانیسم، تبلیغ می کنند. برای اینکه شارلاتانیسم این مورد روشن شود، یاد آوری می کنم که باوجود تبلیغ حل و دادن جایزه فیلد و جایزه کلِی برای "حدس پوانکاره" در مورد سطح (!) سه بعدی کروی، که برنده اش آن ها را رد کرد. ریاضیدانان مشکل "تناقض باناخ ـ تارسکی" در مورد همین کره را در رابطه با محتوای فضای صُلب سه بعدی آن R³ ماستمالی می کنند. این شارلاتانیسم ریاضی است که به تناقضات مربوطه توجه نشود. عین همین شارلاتانیسم ریاضی در جایزه اخیر فیلد به یک ایرانی در رابطه با "ژئودزیک ها" نیز اعمال شده است.

اشتباه نشود، شارلاتانیسم و دورویی یا عدم توجه به قواعد منطقی در مورد ریاضیات معاصر خصوصأ تحت تسلط موازین آمریکایی بر آن به هیچ وجه مسئله عجیبی نیست. چون در دنیایی که موازینش در همان آمریکی شمالی تعیین می شود و حتی مطابق نظر اندیشمندان منتقد آمریکایی مشخصأ بر دورویی و تقلیب متکی است، به جهت اینکه سیستم ریاضیات آمریکای شمالی نمی تواند ادعای خارج بودن از محیط و سیستم فکری آمریکای شمالی بکند. لذا تحت تاثیر آن، به همان دورویی عادت خواهد کرد.

اساسی ترین مورد شارلاتانیسم ریاضیات معاصر در رابطه با مقولات یاد شده اینست که ریاضیدانان بخاطر "اعتقاد مذهبی (مابعد الطبیعی)" به خط مستقیم، مبحث اساسی "حساب واریاسیون" و "نظریه تعادل" را مخدوش و برای توجیه نادرست تعادل خط مستقیم، مبحث مذکور را مُثله کرده اند. تا جائیکه در کنار حساب واریاسیون (کامل) که "واریاسیون قوی" می نامند، از بخش مثله شده آن مبحثی جعلی تحت عنوان "واریاسیون ضعیف" ساخته اند، که هدفش توجیه تعادل ظاهری (ضعیف) واریاسیون همه موارد متناقض علم معاصر نظیر خط مستقیم است. مبحثی جعلی که شامل تعادل سیستم های دینامیک مربوط به جایزه کذایی ریاضی هم می شود. یعنی ریاضیدانان هر جا که راهی برای توجیه اعتقادات غیر منطقی متناقض خود نیافته اند، با شارلاتانیسم صحت آن را جعل کرده اند.

لازم به دقت است که ریاضیدانان حداقل از اوایل قرن بیستم مطلعند که علم ریاضی دچار بحران اساسی است، اما چون قادر به حل آن نیستند، سرشان را زیر برف کرده اند و به آن فکر نمی کنند. این وضعیت عدم توجه نشان از کیفیت نازل کار و فکر ریاضیدانان معاصر دارد. یاد آوری می کنم که به نظر من تنها راه حل این بحران تغییرات اساسی در علم ریاضی و رد همه مقولات غیر قابل تعریف آن مطابق رای ریاضی لُبگ است.

برای توضیح جنبه های عمومی مسئله، لازم است با یاد آوری دو موضوع، یکی فرهنگی و دیگری "فنّی" در رابطه با علم و ریاضیات، جنبه های فرهنگی و "فنی" اشکالات اساسی علم ریاضی را روشن کنم. موضوع فرهنگی اینست که متاسفانه اکثر تحصیلکردگان در ایران نیز تصور می کنند که در میانه دنیای دروغ و نادرستی ها که در آن حقوق اکثریت مردم عالم پایمال می شود و بسیاری به خاطر این ناروایی های سیستماتیک جهانی از شدت فقر می میرند، حوزه علم (آکادمی ها) جزیره ثبات و آرامش و حقیقت و راستی مانده است. درحالیکه علم و دانشوران از کره مریخ نیامده اند و لذا به سبب سکونت در همین دنیای وانفسا، حداقل به ضرورت همجواری و نفوذ "اُسمزی"، دورویی و شارلاتان بازی و دروغ دنیوی از قدیم در حوزه علوم نیز جریان یافته و آنرا آلوده کرده اند. تا جاییکه اکنون عدم توجه به اصول علم و باور به روش های غیر منطقی، بخش مهمی از مکانیسم علمی را تشکیل می دهند؛ که بی اعتنا به رعایت منطق و پرهیز از تناقض، و ضرورت ارتباط موضوعات علم با مراجع تجربی، به کار خود در جهت دوری بیشتر از اصول منطقی علم ادامه می دهد. یعنی منطقی نیست که علم، آکادمی ها و دانشوران را تافته جدا بافته ای از باقی تکنولوژی و تکنوکرات ها تلقی کنیم که حداقل منحصرأ بفکر معاش خویش و حداکثر در خدمت مراجع اقتصادی ـ سیاسی و مراکز فریب و استثمار مردم دنیا در آمده اند. اما خطیر تر اینست که دانشوران با عدم توجه به حقایق منطقی و لذا کمک به ادامه دورویی و تزویر علم معاصر، بواسطه تاثیر علم بر فرهنگ، به سیستماتیزه کردن دروغ در فرهنگ بشری و پایمال شدن حقوق مردم کمک کرده و سبب بی آبرویی علم در جامعه بشری می شوند. درحالیکه دانشور واقعی می بایستی با نزدیک ساختن علم به واقعیات تجربی و منطق، به گسترش بینش های واقع گرا در فرهنگ اجتماعی کوشیده و از این طریق به احقاق حقوق مردم کمک کند.

موضوع فنی اینست که دستکم روش تحقیقی و نتایج کارهای ریاضیدان هندی رامانوجان که صرفأ متکی بر روشهای مثلثاتی بودند و برای ریاضیدانان غربی نظیر هاردی یک سرّ علمی محسوب می شود، نشان داده اند که بخش مهمی از ریاضیات معاصر که متکی بر "آنالیز توابع مختلط" است، زیادی و سبب ابهام علم است. لذا بنظر من که بخش منطقی این آنالیز را کاملأ مطابق با آنالیز متکی بر مثلثات عادی می بینم، نتایجی که صرفأ (!) ناشی از آنالیز توابع مختلط باشند، یا قابل بیان با مصالح مثلثاتی نیز بوده، و یا از نظر منطقی مشکوکند. انتقاد زیگل از ریمان نیز که در بخش پیش یاد آوری کردم به احتمال در رابطه با مساعی مشکوک ریمان در تاسیس همین آنالیز مختلط و کاربردش در نظریه اعداد بوده است. بگذریم از این که هرمان وایل بعنوان یکی دیگر از ریاضیدانان برجسته، معتقد بود که به سبب اشکالات حد "نقطوی"، حتی آنالیز توابع حقیقی نیز نامعتبر است (5). ریاضیدانان معاصر اما اعتنایی به انتقادات اساسی این متقدمین مسلط تر از آنان به ریاضیات، نسبت به وضع علم ریاضی ندارند. یعنی ریاضیات حتی در بخشهای اساسی آن نیز متضمن آن دقت و صحتی که ادعا می کند، نبوده، و بقول همان وایل "نمی تواند کسی را که به آن تکیه می کند، نگهدارد" (5).
اما ریاضیات در رابطه با اشکالات اساسی یاد شده در بخش اول این رساله که از اوایل قرن بیستم منجر به "بحران اساس ریاضیات" (6) شد و تاکنون ادامه و تشدید یافته است، محتوی اشکالات اساسی متعددی است، که چون برای هر شخص قادر به تفکر منطقی قابل تشخیص است، در ادامه می آورم.

هر کسی که اندک منطقی در فکرش باشد، می داند که طبق روال عامیانه "اول فکر کن، بعد صحبت کن" در علم نیز ابتدا باید حداقل مقولات اساسی را تعریف کرد، تا از تناقض پرهیز شود. همچنان که در بخش پیش یاد آوری کردم، ریاضیدان برجسته هنری لُبگ در رابطه با بحران اساس ریاضیات معتقد بود که "تنها مقولات قابل تعریف موجودیت ریاضی دارند" (7). من نظر لبگ را در رابطه با "ضرورت تعریف مقولات نظریه مجموعه ها" به مواردی نظیر "نقطه"، "خط"، "هندسه مستوی" و "بینهایت" نیز تعمیم داده ام که مورد توجه او قرار نداشتند. چون بنظر من خصیصه "تعریف پذیری" بسیار اساسی است. البته زعمای ریاضی معاصرنظیر "سِر" و "عطیه" که بسیاری مثل گله گوسفند بدنبالشان می روند، در ادامه روش غیر منطقی مکتب بورباکی، احتمالأ از این رو به مسئله تعریف پذیری توجه نمی کنند، چون در آن صورت باید کارشان را تعطیل کرده و به دنبال تحقیقات مشکل تری بروند که همچنان که تاکنون کارهایشان نشان داده اند، از دستشان برآمدنی نیست. لذا ریاضیدانانی چون عطیه که می بایستی موظف به منطق باشند، عادت کرده اند که توجهی به استنتاجات منطقی کارشان نکرده و برای توجیه آن به هر قیمت مثلأ در رابطه با معادلات فیزیکی فضاهای چهار بعدی، به شارلاتانیسم روی آورند.

یعنی ریاضیدانان که مدعی دقت هستند، عادت کرده اند که بر خلاف این ادعا، از تعریف مقولات مورد بحثشان خودداری کنند. لذا در ریاضیات معاصر بسیاری مقولات تعریف نشده به کار برده می شوند، که هر شخص منطقی می تواند تشخیص دهد که منجر به اشکالات ریاضی خواهند شد. نظیر مقوله "بُعد" که در ریاضیات متداول هنوز به طرزی کلی و جامع تعریف نشده است که قابل استعمال در همه فضاهای مورد استعمال ریاضیدانان باشد. اما از سر لاقیدی بدون تعریف همه جا بکار برده می شود. در حالیکه بُعد بعنوان یک کمّ توپولوژیک، تنها وسیله کمیات توپولوژیک لایتغیر، نظیر مشخصه اولر فضای مورد بحث و یا "اندیس" عوامل دیفرانسیل (مشتق) در آن فضا قابل تعریف است. اهمیت این مشخصه جامع (انتگرال) در اینست که اولأ وابسته به مختصات نیست و ثانیأ در سراسر فضای مورد بحث معتبر است. با این حال متاسفانه ریاضیدانان دقت نمی کنند که واقعیات توپولوژیک فضا مهم تر از فرضیات محلی آن ها در باره آن فضاست. صد البته بسیار می کوشند که با ترفند و چشم بندی بازیچه های نقطوی متناقض خودرا به نوعی توجیه کنند، اما کارشان حتمأ در مرحله ای مواجه با تناقض است.

لذا چون ریاضیدانان از سر عادت عامیانه اصرار در عقیده به فضاهای بیش بعدی دارند، در عین فرض نقطه ای ابعاد از طریق فرض مختصات که صرفأ فرض، و البته غیر از تعریف آنست، تاکنون نتوانسته اند تعریف جامعی برای بعد بدهند.

مسئله تعریف پذیری اتفاقأ مسئله ای تجربی است و ربطی به ریاضیات خالص ندارد، بلکه متوجه ریاضیات صحیح (فاقد تناقض) بوده و یعنی متوجه صحت منطقی موضوع مورد تعریف است. لذا به جهت ضرورت تطابق منطق با تجربه، در علم فیزیک حتی ضروری تر است. چون تعریف منطقی در واقع تلخیص بیان علمی تجربه است. و از این رو همچنان که در بخش پیش یاد آوری شد، آنچه که از نظر منطقی مورد اشکال باشد، وجودش نیز از نظر فیزیکی ممکن نیست.

در همین رابطه تذکر این مورد نیز ضروری است که نه فضاهای بیش بعدی ریاضیدانان و نه فضای چهاربعدی فیزیکدانان تاکنون تعاریف جامعی نداشته اند و تنها در "نقطه" و یا "محلی" (بی نهایت کوچک) فرض می شوند. لذا پس از قریب دوهزارو پانصد سال فیزیکدانان مجبور به این اعتراف شده اند که اثباتی برای چهار بعدی بودن فضا ـ زمان ندارند. و پانزده سال پیش اثبات این مسئله را به عنوان مسئله هزاره فیزیک تعیین کردند. مسئله نه بصورت تجربی و نه ریاضی قابل اثبات است، چون نه تنها فیزیک و ریاضیات مصالح این کار را ندارند. بلکه در ریاضیات نیز اثبات "قضیه وجود و یگانگی" فضاهای چهاربعدی ممکن نشده است (4). ریاضیدانان باید از خود بپرسند، زمانی که وجود فضای چهار بعدی بعد از بیست و پنج قرن قابل اثبات نبود، و بعد از پانزده سال هم نتوانست چه بصورت فیزیکی و چه بصورت ریاضی اثبات شود، با چه حقی از فضاهای چهاربعدی یا بیشتر بعدی چنان حرف می زنند که گویی وجودشان محرز است. آیا این اعتقاد ریاضی تفاوتی با اعتقاد عوام به ملائکه دارد؟

برای این که شدت وخامت و مسخره بودن وضع ریاضیات معاصر روشن شود، باز یاد آوری می کنم که مقایسه ای که در بخش پیشین رساله میان دانشوران معتقد به فضاهای بیش بعدی و کشیشان بیزانس کردم که در شب پیش از سقوط قسطنطنیه، در باره تعداد ملائکه ای که بر نوک سنجاق جای می گیرند، بحث می کردند؛ مقایسه ای کاملأ منطقی است. چون فضاهای بیش بعدی مورد نظر دانشوران معاصر علی الصول فضاهای فرضی در "نقطه" ای نظیر نوک سنجاق کشیشان اند. یعنی مختصات فضا تنها در یک نقطه نوشته می شوند و دیگر توجهی به این مسئله که آیا چنین فضایی از نظر ساختار جامع و کلی اش متعادل و ممکن است، نمی شود. مخصوصأ فضاهای مطرح در ریاضیات معاصر، نظیر فضاهای بیش بعدی مدل استرینگ، به مفهوم اخص کلمه، فضاهای (بی نهایت کوچک) فرض شده بر "نقاط" فضای فیزیکی معمولی هستند، که احتمالأ از شرم جعلیات دانشوران مسئولشان چنان در خود پنهان شده اند، که هیچ متد فیزیکی و ریاضی قادر به باز نمودنشان نیست. و کار این فضاهای نامرعی در ریاضیات و فیزیک عین کار ملائکه نامرعی در مذهب است، یعنی اعجاز: اولی برای دانشوران غیر منطقی و دومی برای عوام.

بر این مقولات تعریف نشده اما متداول میان ریاضیدانان طبعأ می بایستی مقولاتی را که در بخش پیش مشخصأ نام بردم، نظیر "نقطه" و "بی نهایت" و ... را اضافه کرد. لذا ریاضیدانان معمولأ همچنان که راسل نیز معتقد بود، در مورد مسائلی سخن می گویند، که به جهت شمول و ارتباط با مقولات تعریف نشده، نمی دانند چیستند. و نوع تحقیقاتشان نشان می دهد که به هیچ وجه در پی تعریف و فهم مسائل مذکور نیستند، بلکه صرفأ در پی ادامه مشغولیت و دوام شغل اند.

حواشی و توضیحات:

ـ لازم به یاد آوری است که ریاضیدانانی چون پوانکاره و هیلبرت چون متعلق به هردو قرن نوزده و بیستم محسوب می شوند، لذا در ارزیابی نسبت به قرن بیستم، ملحوظ نیستند.

ـ من عمدأ هم منطقدان آورده ام و هم ریاضیدان، چون ریاضیدانان بر خلاف انتظار متاسفانه به منطق بی توجه اند. پرانتز ها از من.